Matematyka jest piękna, a okrąg jest doskonały

Ustalając budowę układu planetarnego, Kopernik dał się zapisać w historii nauki przede wszystkim jako genialny odkrywca teorii heliocentrycznej. “Wstrzymał Słońce, ruszył Ziemię” głosi napis z 1830 roku na pomniku warszawskim.

Waga tego odkrycia przyćmiła i zubożyła pełen obraz dokonań uczonego i jego treść. Uwidoczniło się to w marginalnym w tradycji traktowaniu innych jego dokonań na polu astronomii, fizyki i matematyki. Przyczyny były różne, odkrycia były mniej oczywiste, trudniejsze do zrozumienia, związane z dość subtelnymi wywodami astronomii matematycznej. Szczególną komplikację powodowało u Kopernika, jednak ciągle obecne, przywiązanie do niektórych kanonów filozofii starożytnej.

Poniżej postaram się przedstawić kilka mniej oczywistych lub nawet zapomnianych dokonań Kopernika, które świadczą o jego wybitnej intuicji. Jednocześnie uzupełnione zostały o propozycje prostych eksperymentów, ściśle związanych z odkryciami Kopernika, które może powtórzyć każdy przy użyciu materiałów, które łatwo znaleźć w każdym domu. Z pewnością ich przeprowadzenie było w zasięgu możliwości samego Kopernika. Niestety, podobnie jak inni uczeni jego czasów, zostawił on bardzo skąpe informacje na temat samej metody dochodzenia do swoich wniosków. Czy fromborski samotnik zdobywał nowe przestrzenie dla nauki tylko w myślach? A może dodatkowo umilał sobie czas eksperymentami fizycznymi? To już na zawsze pozostanie tajemnicą jego wieży.

Wieża Kopernika we Fromborku, widok od dziedzińca Warowni Wzgórza Katedralnego

Przyciąganie jest powszechne

Kopernik przewidział istnienie powszechnej siły grawitacji na dwa wieki przed Izaakiem Newtonem. Podobnie jak angielski uczony, używał łacińskiego słowa gravitas nie tylko w odniesieniu do ziemskiego ciążenia, ale również do siły skupiającej cząsteczki (partibus) Słońca, Księżyca oraz planet.

Jego argumentem był obserwowany kulisty (globi) kształt obiektów nieba oraz ewidentne dowody na brak jednego środka ciężkości, z którym można powiązać wszelki ruch. Rozprawił się z tym fundamentalnym zagadnieniem z zadziwiającą lekkością, jakby na marginesie, gdzieś w jednym z wielu podrozdziałów swojego dzieła:

Fragment podrozdziału “O obrotach” Mikołaja Kopernika na temat powszechności grawitacji.

Ja w każdym razie mniemam, że ciężkość nie jest niczym innym, jak tylko jakąś naturalną dążnością, którą boska opatrzność Stwórcy wszechświata nadała cząstkom po to, żeby łączyły się w jedność i całość, skupiając się razem w kształt kuli. A jest rzeczą godną wiary, że taka dążność istnieje również w Słońcu, Księżycu i innych świecących planetach po to, by na skutek jej działania trwały w tej okrągłości, w jakiej się nam przedstawiają. –  Mikołaj Kopernik, “O Obrotach” – Księga I, rozdział 9

Trudno o jaśniejszy i trafniejszy opis podstawowej własności materii we Wszechświecie jaką jest oddziaływanie grawitacyjne. Pojawia się też u Kopernika zupełnie ścisłe określenie środka ciężkości ciał, wynikającego z wypadkowej sił działających na ”cząstki” (dzisiaj fizyk użyłby określenia punkty materialne):

Skoro zatem nic nie stoi na przeszkodzie, by przyjąć ruchomość Ziemi, sądzę, że teraz trzeba się zastanowić, czy przystoi jej również wielość ruchów, tak by ją można było uważać za jedną z planet. Bo tego, że nie jest ona środkiem wszystkich obrotów, dowodzi ruch planet wyraźnie nierównomierny i zmienne ich odległości od Ziemi, których nie można wytłumaczyć za pomocą koła współśrodkowego z Ziemią. Skoro więc istnieje większa ilość środków, nie bez przyczyny może ktoś mieć wątpliwości również co do środka wszechświata, czy mianowicie jest nim środek ciężkości ziemskiej, czy jakiś inny. – Mikołaj Kopernik, “O Obrotach” – Księga I, rozdział 9

”Naturalną dążność cząstek do skupienia w całość” jak to określił Kopernik, można w bardzo prosty sposób udowodnić eksperymentalnie. Wystarczy zawiesić (najlepiej niesymetryczną) blaszkę na trzech różnych otworach i poprowadzić z każdego z nich linie pionowe. Linie przetną się zawsze w środku ciężkości, tak jak na załączonym obrazku.

Przykład na wyznaczenie środka ciężkości. Kopernik użyłby swoich pionów, czyli ciężarków zawieszonych na napiętym sznurku. Korzystał z nich przygotowując się do obserwacji astronomicznych.

Matematyka jest piękna

Gdy pobudzimy do drgania wahadło jednocześnie w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, to otrzymamy zadziwiająco estetyczne wzory zakreślane przez koniec wahadła w przestrzeni. Ich kształt zależy od proporcji między częstościami własnymi drgań. Jeżeli proporcja jest liczbą wymierną, to mamy do czynienia z rezonansem, a wzory tworzą krzywą zamkniętą.

Przykłady krzywych Lissajous – Kopernika dla wybranych częstości własnych

W XIX w. Jules Antoine Lissajous, korzystając z drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami był w stanie wygenerować wiele przykładów takiej krzywej. Ale to Mikołaj Kopernik, trzy wieki przed Lissajous, wykonał pierwszy w historii matematyki krok na tym polu. W rozdziale III księgi trzeciej “O obrotach”, wykładając swoją teorię precesji, składa w zdumiewająco wnikliwy sposób dwa ruchy wahadłowe o częstościach wahnień w proporcji 2:1.

Krzywa Lissajous – Kopernika z rękopisu “O obrotach”

Na rycinie w “O obrotach” krzywa ma kształt zgniecionej ósemki. Ten kształt odkryto ponownie dla nauki dopiero w pierwszej połowie XIX wieku. Kopernik definiuje ją jako ”corollae intortae similis” tj. “do wieńca skręconego podobną”.

Był to pewnie jeden z tych błysków geniuszu, który sprawił, że Kopernik po raz kolejny o całe wieki wyprzedził swoich następców. Ludwik Birkenmajer twierdzi, że mogła to być uważna obserwacja wahań lampy kościelnej zawieszonej na długim sznurze u stropu katedry we Fromborku. U jej spodu Kopernik mógł umocować drugie, krótsze wahadło, wahające się dwa razy szybciej niż lampa. Cień rozbiegany po posadce katedry kreślił wciąż ten sam wzór.

Jeszcze prostszym, ale równie efektownym sposobem generowania krzywych Lissaujous – Kopernika jest skorzystanie z wahadła piaskowego. Trzeba go tylko przymocować tak jak na załączonym filmiku.

Wahadło piaskowe puszczone pod skosem będzie rysować fantastyczne figury z piasku do czasu, aż się zatrzyma lub skończy się piasek.

Ruch jest względny

Nauka Kopernika oparta jest na względności ruchu. Wiedział, że opis ruchu dowolnego ciała zależy od tego względem czego odnosimy ten ruch. Pojęcie układu odniesienia było obce ówczesnym uczonym i wykorzystanie go dało Kopernikowi klucz do rozwiązania zagadnienia ruchów na niebie. Była to prawdziwa rewolucja, bo nawet dzisiaj z całą naszą wiedzą, jaką posiadamy, ciężko oprzeć się wrażeniu, że to niebo obraca się raz na dobę. Ujawnia się słabość zmysłów, każdy z nas ma naturalną tendencję do uznawania nieruchomości własnego układu odniesienia. Bardzo zgrabnie wyjaśnił to sam Kopernik:

Dlaczego nie przyznać, że ruch sklepienia nieba jest tylko pozorny, a że w rzeczywistości obraca się sama Ziemia i że zachodzi zjawisko podobne do tego, o którym wspomina Wirgiliusz w “Eneidzie” – “Okręt wypływa z portu, i nam się wydaje, że to ląd i miasta odsuwają się od nas” – Mikołaj Kopernik, “O obrotach” – Księga I, rozdział 8

Zasadę względności ruchu sformułował po raz pierwszy explicte Galileusz kilka dekad po Koperniku. Natomiast u Kopernika była ona zawsze fundamentem operacji myślowych na drodze do nowego systemu świata:

Bo jeżeli ten obieg zmienimy ze słonecznego na ziemski i przyznamy nieruchomość Słońcu, to nic się nie zmieni w zjawiskach wschodu i zachodu znaków zwierzyńcowych i gwiazd stałych, dzięki którym stają się one gwiazdami rannymi i wieczornymi; równocześnie postoje planet, ich cofania się i posuwania okażą się nie ich ruchem, lecz wynikiem ruchu Ziemi, który one zapożyczają dla swych zjawisk. – Mikołaj Kopernik, “O obrotach” – Księga I, rozdział 9

Kopernik konsekwentnie stosował zasadę względności ruchu jako coś więcej, niż tylko ciekawostkę z dziedziny optyki czy kinematyki. Nie wybrzmiewa tak mocno jak u Galileusza, bo brakuje jej formalizmu. Może Kopernikowi wystarczył krótki rejs statkiem po Zalewie Wiślanym tak, jak u Wirgiliusza, żeby odróżnić rzeczywistość od pozorów? My też spróbujmy okiełznać nasze zmysły przypatrując się uważnie obrazkowi poniżej:

Kopernik wielkim żeglarzem był?

Okrąg jest doskonały

Już w czasach kultury greckiej okrąg był kształtem idealnym, wyrażającym nieskończoność, bez kantów, bez początku i końca. Według Ptolemeusza, twórcy teorii geocentrycznej, obserwowany ruch planet miał być kombinacją jednostajnych ruchów po okręgach i niczym więcej. Podobnie Kopernik wyprowadził kilkadziesiąt nowych okręgów, połączonych w harmonijnym ruchu, aby odtworzyć ruch planet. Jednak jego model, choć równie skomplikowany, dawał o wiele większe możliwości poznania natury wielu zjawisk. Dzięki Kopernikowi do rodziny planet dołączyła Ziemia.

Rycina z rękopisu Kopernika. Do orbity kołowej Kopernik dodał mniejsze koło tzw. epicykl, aby zbliżyć się do prawidłowego opisu ruchu planety

Ze względu na liczbę okręgów Kopernik uważał swoje dzieło za niedoskonałe i długo wahał się z publikacją. Zdawał sobie sprawę, że w jego teorii zagościły elementy, przeciw którym on sam występował, chcąc maksymalnie uprościć opis ruchu planet. Kolejny, wielki krok w astronomii, czyli odkrycie właściwej kinematyki, było już ponad siły jednego człowieka. Dopiero Kepler, 60 lat później, wprowadził pojęcie elipsy do opisu Układu Słonecznego.

To, nad czym Kopernik spędził 40 lat, dzisiaj matematycy nazywają szukaniem kolejnych wyrazów szeregu Fouriera. Okazuje się, że każdą krzywą, nie tylko elipsę, można przybliżyć za pomocą sumy ruchów po coraz to mniejszych okręgach. Taką operację nazywa się transformacją Fouriera. Tak jak kiedyś Kopernik, tak właśnie dzisiaj matematycy radzą sobie ze złożonością świata. Gdyby ktoś chciał się poczuć jak Kopernik i porozbijać wszelki ruch na okręgi to może to zrobić na interaktywnej stronie http://tata-astronom.pl/fourier.html

Nawet krzywa w kształcie Kopernika może być przybliżona za pomocą sumy ruchów po okręgach

Również najprostszy ruch wahadłowy w jednej płaszczyźnie, według Kopernika dało się wytłumaczyć tylko w jeden sposób:

Ruch taki można wyobrazić sobie, jako wynik dwóch ruchów jednostajnych kołowych i przeciwnie skierowanych, jak to tłumaczy Proclus w swych komentarzach do Elementów Euklidesa – Mikołaj Kopernik, “O Obrotach” – Księga V, Rozdział 25

Świat jest obrazem

Czy Mikołaja Kopernika można uważać za ojca nowożytnej optyki? Taką tezę stawia kopernikolog prof. Jarosław Włodarczyk, wielki przyjaciel Fromborka i zasłużony uczestnik akcji oświatowej pn. Wakacje w Planetarium. W swojej publikacji stwierdza, że Kopernik pomógł rozpowszechnić wśród uczonych, prosty przyrząd optyczny, znany dzisiaj jako ‘camera obscura’.

Szczegółowa analiza obserwacji zaćmień Słońca wykonanych przez Kopernika we Fromborku pokazała te same powtarzające się błędy, bardzo charakterystyczne dla wyznaczania głębokości zaćmienia częściowego za pomocą camera obscura.

Obserwacja częściowego zaćmienia Słońca z pomocą  camera obscura. Rycina z  Gemma Frisius “De radio astronomico et geometr liber”, 1584

Stąd można przypuszczać, że Kopernik uzyskiwał obraz tarczy słonecznej, tak jak na rysunku powyżej –  wpuszczając niewielką ilość światła do ciemnego pomieszczenia. W obserwacjach conajmniej dwóch zaćmień towarzyszył mu jego jedyny uczeń Joachim Retyk, matematyk z Wittenbergii, który przybył do Fromborka, aby u źródła zdobyć wiedzę na temat nowego systemu świata. Retyk po powrocie do Wittenbergii mógł podzielić się z kolei wiedzą na temat nowej metody obserwacji ze swoim kolegą, Erasmusem Reinholdem. On zaś upowszechnił tę metodę w wydanym rok póżniej, uzupełnieniu do dzieła innego wielkiego uczonego, Georga von Peurbacha, wydanego właśnie w Wittenbergii w 1542 roku.

Znajdziemy w nim taki fragment:

Kiedy obliczenia zapowiadają zaćmienie Słońca, wejdź albo pod dach wysokiego domu, albo do niezbyt niskiej izby lub też na piętro, które tym zdatniejsze będzie do tego zadania, im jest wyższe. Niech miejsce, w którym rozpoczniesz obserwacje, będzie pozbawione wszelkiego światła, na ile to możliwe. Niemniej jeśli nawet zamkniesz i pozatykasz wszystko, z pewnością znajdzie się jakaś szczelina czy też otwór dowolnego kształtu, przez który promienie Słońca zdołają się wedrzeć. Gdyby tak się nie stało, sam odsłoń niewielki otwór dla wpadających promieni. Kiedy to uczynisz, albo na płaszczyźnie posadzki, albo na cegle leżącej naprzeciw otworu zaobserwujesz wpadające światło słoneczne i ujrzysz (doprawdy, rzecz to nadzwyczajna), że przedstawia ono obraz Słońca i że brakuje tyle słonecznej tarczy, ile zabiera Księżyc, wchodząc w nasze pole widzenia. – Erasmus Reinhold, “Salueldensis Theoricae Novae Planetarum” Wittenberga, 1542

Dzieło Reinholda miało duży wpływ na pracę Tychona Brahe, Johannesa Keplera, który opracował podstawy nowożytnej optyki. Właśnie potrzeba wyjaśnienia dlaczego światło przechodząc przed niewielki otwór, tworzy obraz rzeczywisty, była impulsem dla powstania fundamentów dzisiejszej nauki o świetle.

Bardzo łatwo jest zbudować podręczną wersje camera obscura – to taki pierwowzór dzisiejszych aparatów fotograficznych, i powtórzyć prosty eksperyment z powstawaniem obrazu.

Camera obscura z kartonowego pudła z niewielkim, okrągłym otworkiem i większym do oglądania obrazu np. odległego drzewa na białym ekranie.

Dr Ernest Świerczyński, tata-astronom.pl

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *